Finite Mathematik Beispiele

$x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} + {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} - 18 = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Schritt 2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18$

Schritt 3

Ersetze $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ durch $u$ .

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x^{\frac{1 + 1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

${(x^{\frac{2}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{8}})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{8} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x^{\frac{2}{2 (4)} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{2 \cdot 4} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{2}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{\frac{2 (1)}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1 + 1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.7

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$x^{\frac{1}{2}} (3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}) - 18 = 0$

Schritt 4.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.9.1

Bewege $x^{\frac{1}{8}}$ .

$3^{\frac{1}{8}} (x^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}}) - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.9.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{8}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1 + 4}{8}} - 18 = 0$

Schritt 4.1.9.6

Addiere $1$ und $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} - 18 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} = 18$

Schritt 4.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{8}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache ${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 4.4.1.1

Wende die Produktregel auf $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}}$ an.

${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{1}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 4.4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.4.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{\frac{1}{5}} x^{1} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.4

Vereinfache.

$3^{\frac{1}{5}} x = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.4.1.5

Stelle die Faktoren in $3^{\frac{1}{5}} x$ um.

$x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ durch $3^{\frac{1}{5}}$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ durch $3^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$